عدد سكيوز.. عندما تصبح الأرقام أكبر من الخيال

  

هل يمكن أن يكون هناك عدد كبير إلى درجة أن كتابة عدد أرقامه نفسها تبدو مهمة مستحيلة؟ 

 

في عالم الرياضيات، توجد أعداد هائلة تتجاوز قدرتنا المعتادة على التخيل، ومن أشهرها عدد سكيوز (Skewes' Number)، الذي ارتبط بأحد أكثر الأسئلة إثارة في نظرية الأعداد.

 

لفهم القصة، علينا أولًا أن نتحدث عن الأعداد الأولية: وهي الأعداد التي لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى الواحد، مثل 2 و3 و5 و7 و11. يهتم الرياضيون منذ قرون بمعرفة كيفية توزع هذه الأعداد بين الأعداد الطبيعية.

 

في القرن التاسع عشر، ظهر تقريب رياضي يُعرف باسم التكامل اللوغاريتمي Li(x)، يمكن استخدامه لتقدير عدد الأعداد الأولية التي لا تتجاوز عددًا معينًا x. ويُرمز إلى العدد الفعلي للأعداد الأولية حتى x بالرمز π(x).

 

المثير أن Li(x) ظل، في الحسابات المعروفة، أكبر من π(x)، أي أنه كان يبالغ في تقدير عدد الأعداد الأولية. وكان من السهل أن يتولد الاعتقاد بأن هذا الأمر سيستمر دائمًا.

 

لكن عالم الرياضيات البريطاني جون ليتلوود أثبت عام 1914 أن الوضع ليس كذلك؛ فالفرق بين π(x) وLi(x) لا يبقى في اتجاه واحد، بل يتغير إشارته مرات لا نهائية. أي أن هناك نقطة ما يصبح عندها عدد الأعداد الأولية الفعلي أكبر من التقدير الرياضي. (OEIS)

 

وهنا يأتي دور عالم الرياضيات الجنوب أفريقي ستانلي سكيوز.

 

في عام 1933، استطاع سكيوز أن يضع حدًا أعلى لهذه النقطة، بافتراض صحة فرضية ريمان. وكانت النتيجة مذهلة:

e^(e^(e^79))

ويمكن تقريب حجمها بطريقة أخرى إلى:

10^(10^(10^34))

 

وهنا يصعب حتى تخيل حجم الرقم. فهو ليس مجرد رقم يحتوي على مليارات أو تريليونات الخانات، بل عدد تتكون بنيته من أسس مرفوعة إلى أسس مرفوعة إلى أسس. (MathWorld)

 

لكن المفاجأة الأهم أن هذا العدد لم يكن هو القيمة الحقيقية لعدد سكيوز، بل كان حدًا أعلى؛ أي أن الرياضيات أثبتت أن نقطة التغير يجب أن تقع قبل هذا الحد.

 

ومع تطور الرياضيات والحسابات الحاسوبية، تمكن الباحثون من خفض هذا الحد بصورة هائلة. وتشير النتائج الحديثة إلى وجود تغير في الإشارة بالقرب من:

1.397 × 10^316

 

لكن القيمة الدقيقة لأول نقطة يحدث عندها هذا التغير لا تزال غير معروفة. (MathWorld)

 

والأجمل في قصة عدد سكيوز أنه لم يظهر بسبب رغبة الرياضيين في اختراع أعداد ضخمة لمجرد استعراض حجمها، بل نشأ من سؤال عميق حول سلوك الأعداد الأولية. وهنا تكمن روعة الرياضيات: أحيانًا يقود سؤال بسيط ظاهريًا إلى أرقام تتجاوز حدود الخيال.

 

عدد سكيوز يذكرنا بأن عالم الأرقام أوسع بكثير مما نستطيع كتابته أو تصوره.

 

المراجع

 

1.     Bays, C., & Hudson, R. H. (2000). A new bound for the smallest x with π(x) > li(x). Mathematics of Computation, 69(231), 1285–1296. (MathWorld)

2.     Littlewood, J. E. (1986). Littlewood's miscellany. Cambridge University Press. (OEIS)

3.     Skewes, S. (1933). On the difference π(x) − Li(x). Journal of the London Mathematical Society, 8(4), 277–283. (OEIS)

4.     te Riele, H. J. J. (1987). On the sign of the difference π(x) − li(x). Mathematics of Computation, 48(177), 323–328. (MathWorld)

5.     Weisstein, E. W. (n.d.). Skewes number. MathWorld—A Wolfram Resource. (MathWorld)